... fast^1.1

Außer man kommt z.B. mit reiner INTEGER-Arithmetik aus, was sehr selten ist.

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... unvermeidlichen^1.2

'Unvermeidlich' heißt, wie noch ausführlich demonstriert wird, keineswegs, daß man keine Möglichkeiten hat, Rundungsfehler zu reduzieren!

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... Gliedern^1.3

Zumindest ab einem bestimmten $a_{n}$!

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... hinzuf\"ugen^1.4

Eine solche Möglichkeit in Form einer besseren Auswertung eines Kettenbruches findet man z.B. in [9], S.135f).

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... durchf\"uhrt^2.1

In der Praxis wird für $t_{0}$ ein Wert zwischen 20 und 100 genommen.

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... BLAS-Hilfsprogramme^2.2

BLAS: Basic Linear Algebra Subprograms.

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...MATLAB:^2.3

MATrix LABoratory.

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... Tabelle^3.1

Die zur Erstellung dieser Tabelle erforderlichen Elektronen-Wellenfunktionen stammen aus: C. Froese Fischer, Atomic Data 4,301-399 (1972). Wenn Sie dieses Beispiel rechnen wollen, können Sie diese Daten von der Web-Seite dieser Vorlesung unter
testdaten/kalium.dat herunterladen.

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... Bibliothek^3.2

International Mathematical and Statistical Libraries, Visual Numerics Inc., Houston, Texas, USA).

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... sind.^3.3

Es spielt dabei keine Rolle, ob die zu interpolierenden Funktionswerte tatsächlich eine periodische Funktion beschreiben!

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... Eigenschaft^3.4

Bitte selbst verifizieren.

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... ist^3.5

Diese strenge Bedingung ist in einigen modernen FFT-Programmen (s. Abschnitt 3.4.5) nicht mehr gegeben.

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... kernel:^3.6

S. Wolfram, Mathematica, Addison-Wesley Publishing Comp., 1991, S. 681ff.

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... gefunden^4.1

D.W. Marquardt, J. Soc. Ind. Appl. Math. 11,431 (1963)

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... Marquardt-Variation^4.2

Dieser Algorithmus wird in der Literatur auch als 'Levenberg-Marquardt Methode' bezeichnet

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... 0.0003^4.3

Dieser Startwert für $\lambda$ ist ebenso wie der weiter unten angegebene Faktor (=5.) willkürlich und hat sich nur empirisch als praktikabel erwiesen.

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... Gleichungssystem^5.1

aus: F. Stummel, K. Hainer, Praktische Mathematik, Teubner Studienbücher, Stuttgart 1971.

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... w\"urde^6.1

Hier soll jedoch ausdrücklich auf die immer populärer werdende Computer-Software hingewiesen werden, die auch analytische Rechenoperationen erlaubt, wie z.B. die Systeme REDUCE, MAPLE, Mathematica usw.

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... Genauigkeit^6.2

unter Vernachlässigung von Rundungsfehlern

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... ergibt^6.3

'ST': Summierte Trapezformel, 'SS' : Summierte Simpsonformel.

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... w\"ahlt.^6.4

In der Literatur gibt es ähnliche Formeln auch für ungerade $N$, wie die sog. '3/8-Formel' (s. z. B. [2], S. 191).

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... angewendet^6.5

Alle Ergebnisse dieses Abschnittes wurden mit einem F90-Programm, DOUBLE-PRECISION, erhalten.

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... St\"utzpunkte.^6.6

Die Gauss-Formel ist eine offene Quadraturformel, während die Trapez- und die Simpson-Formel geschlossene Quadraturformeln sind.

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... beliebige^7.1

vgl. aber Abschnitt 7.3.5.

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... Transformationsschritt^7.2

Allerdings ist das Aufsuchen des betragsgrößten Nicht-Diagonalelementes vor jeder Matrix-Transformation sehr zeitintensiv. Aus diesem Grund wird in den meisten Programmen ein etwas einfacheres Auswahlverfahren angewendet, s. Abschnitt 7.4.3.

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... man^7.3

Eine Variation dieser Vorgangsweise für C-Programme s. Abschnitt 7.4.4.

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... bzw.^7.4

Hier wird die Identität $\left(L^T\right)^{-1} = \left(L^{-1}\right)^T$ verwendet.

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... Wilkinson^7.5

Martin and Wilkinson, Num. Math. 11, 99 (1968); Handbook for Autom. Computing, vol. II, p. 303 (1971).

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... Jacobi-Verfahren^7.6

In diesem Zusammenhang ein interessantes Detail: Die hochangesehene Programmbibliothek LAPACK hatte eine Zeitlang überhaupt keine Jacobi-Routine im Repertoire, bis man im User's Guide von 1995, S. 18, den folgenden Satz findet: In the future LAPACK will include routines based on the Jacobi algorithm ..., which are slower than the above routines (QR etc) but can be significantly more accurate.

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... dar^7.7

Smith et al, EISPACK Guide, in: Lecture Notes in Computational Science (G. Goos, Ed.), Springer Berlin 1974.

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... Rundungsfehler^8.1

Wie eine genaue Analyse der Testergebnisse zeigt, spielen Rundungsfehler bei diesem Test eine nur untergeordnete Rolle.

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... Sicherheitsabfrage^8.2

ERRCON, die 'error control' Konstante, hat im Programm RKQC recht willkürlich den Wert $6 \cdot 10^{-4}$.

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... erl\"autert^8.3

Literatur dazu s. z. B. [10], S. 714ff, [23], S. 229ff

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... Rentrop^8.4

P. Kaps und P. Rentrop, Numerische Mathematik 33, S. 55ff.

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... ODE-Programmen^8.5

ODE = Ordinary Differential Equations.

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... Dreipunktsformeln'^9.1

Im folgenden wird stets die Nomenklatur $y(x_{i}) \equiv y_{i}$ etc. verwendet.

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